Muhammad Mirza Arserio

X MIPA 3

Absen 18

Sudut-Sudut Berelasi

Sudut Berelasi – Adalah perluasan definisi dasar ilmu trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°).

 

Rumus Sudut Berelasi

Dengan memakai sudut-sudut relasi, kita mampu menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, bahkan untuk sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut negatif.

 

Sudut Relasi Kuadran I

Untuk α lancip, maka (90° − α°) menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α°) = cos α°	cosec (90° − α°) = sec α°
cos (90° − α°) = sin α°	sec (90° − α°) = cosec α°
tan (90° − α°) = cot α°	cot (90° − α°) = tan α°

 

Sudut Relasi Kuadran II

Untuk α lancip, maka (90° + α°) dan (180° − α°) menghasilkan sudut-sudut kuadran II dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α°) = cos α°	cosec (90° + α°) = sec α
cos (90° + α°) = -sin α°	sec (90° + α°) = -cosec α°
tan (90° + α°) = -cot α°	cot (90° + α°) = -tan α°

 

sin (180° − α°) = sin α°	cosec (180° − α°) = cosec α°
cos (180° − α°) = -cos α°	sec (180° − α°) = -sec α°
tan (180° − α°) = -tan α°	cot (180° − α°) = -cot α°

 

Sudut Relasi Kuadran III

Untuk α lancip, maka (180° + α°) dan (270° − α°) menghasilkan sudut kuadran III. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α°) = -sin α°	cosec (180° + α°) = -cosec α°
cos (180° + α°) = -cos α°	sec (180° + α°) = -sec α°
tan (180° + α°) = tan α°	cot (180° + α°) = cot α°

sin (270° − α°) = -cos α°	cosec (270° − α°) = -sec α°
cos (270° − α°) = -sin α°	sec (270° − α°) = -cosec α°
tan (270° − α°) = cot α°	cot (270° − α°) = tan α°

 

Sudut Relasi Kuadran IV

Untuk α lancip, maka (270° + α°), (360° − α°) dan (360° + α°) menghasilkan sudut kuadran IV. D i dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α°) = -cos α°	cosec (270° + α°) = -sec α°
cos (270° + α°) = sin α°	sec (270° + α°) = cosec α°
tan (270° + α°) = -cot α°	cot (270° + α°) = -tan α°

 

sin (n.360° − α°) = -sin α°	cosec (n.360° − α°) = -cosec α°
cos (n.360° − α°) = cos α°	sec (n.360° − α°) = sec α°
tan (n.360° − α°) = -tan α°	cot (n.360° − α°) = -cot α°

 

sin (n.360° + α°) = sin α°	cosec (n.360° + α°) = cosec α°
cos (n.360° + α°) = cos α°	sec (n.360° + α°) = sec α°
tan (n.360° + α°) = tan α°	cot (n.360° + α°) = cot α°

 

Jika diperhatikan, rumus-rumus diatas mempunyai pola yang hampir sama, oleh karena itu sangatlah tidak bijak jika harus menghafalnya satu per satu. Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipaka dan tanda untuk tiap kuadran.

 

Untuk relasi (90° ± α°) atau (270° ± α°), maka :
sin → cos
cos → sin
tan → cot

 

Untuk relasi (180° ± α°) atau (360° ± α°), maka :
sin = sin
cos = cos
tan = tan

 

Tanda masing-masing kuadran :
Kuadran I (0° − 90°) = semua positif
Kuadran II (90° − 180°) = sinus positif
Kuadran III (180° − 270°) = tangen positif.
Kuadran IV (270° − 360°) = cosinus positif 

 

Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif (-α)

sin (-α) = -sin α	cosec (-α) = -cosec α
cos (-α) = cos α	sec (-α) = sec α
tan (-α) = -tan α	cot (-α) = -cot α

Contoh Soal:

Contoh 1

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 50°

tan 40°

cos 35°

Jawab :

sin 50° = sin (90° − 400°)

= cos 40°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

cos 35° = cos (90° − 55°)

= sin 55°

Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.

Contoh 2

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Jawab :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

= -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

= -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

= cos 27°

Contoh soal lain nya:

 Nomor 1
Sin 110⁰ = ...

A. - Cos 20⁰

B. Cos 20⁰

C. Sec 20⁰

D. Cot 20⁰

E. Tan 20⁰

Pemkoreksian
Sin 110⁰ = Sin (90⁰ + 20⁰)

Jadi, α = 20⁰ maka Sin 110⁰ = Cos 20⁰

Jawaban: B

Nomor 2
Sin 120⁰ = ...
A. 0
B. - 1/2
C. 1/2
D. 1/2 √2
E. 1/2 √3

Pemkoreksian
Sin 120⁰ = Sin (90⁰ + 30⁰)
Jadi, α = 30⁰ maka Sin 120⁰ = Cos 30⁰ = 1/2 √3
Jawaban: E

Nomor 3
Cos 135⁰ = ...
A. - 1/2
B. - 1/2 √2
C. 1/2 √2
D. 1/2 √3
E. 1

Pemkoreksian
Cos 135⁰ = Cos (90⁰ + 45⁰)
Jadi, α = 45⁰ maka Cos 135⁰ = - Sin 45⁰ = - 1/2 √2
Jawaban: B

Nomor 4
Tan 105⁰ = ....

A. - Sin 15⁰

B. - Cos 15⁰

C. - Cot 15⁰

D. Sec 15⁰

E. Cosec 15⁰

Pemkoreksian
Tan 105⁰ = Tan (90⁰ + 15⁰)

Jadi, α = 15⁰ maka Tan 105⁰ = - Cot 15⁰

Jawaban: C

Nomor 5
Cosec 125⁰ = ...

A. Cos 35⁰

B. Tan 35⁰

C. Sec 35⁰

D. Cot 35⁰

E. - Cot 35⁰

Pemkoreksian
Cosec 125⁰ = Cosec (90⁰ + 35⁰)

Jadi, α = 35⁰ maka Cosec 125⁰ = Sec 35⁰

Jawaban: C

Nomor 6
Sec 150⁰ = ...

A. - Cosec 60⁰

B. - Cot 60⁰

C. Sin 60⁰

D. Tan 60⁰

E. Cos 60⁰

Pemkoreksian
Sec 150⁰ = Sec (90⁰ + 60⁰)

Jadi, α = 60⁰ maka Sec 150⁰  = - Cosec 60⁰

Jawaban: A

Sudut Berelasi (90⁰ - α⁰)

Hubungan sudut-sudut berelasi (90⁰ - α⁰)sebagai berikut:

1. Sin (90⁰ - α⁰) = Cos α
2. Cos (90⁰ - α⁰) = Sin α
3. Tan (90⁰ - α⁰) = Cot α
4. Cosec (90⁰ - α⁰) = Sec α
5. Sec (90⁰ - α⁰) = Cosec α
6. Cot (90⁰ - α⁰) = Tan α

Untuk lebih jelasnya, pelajari pemkoreksian pola soal dibawah ini:

Nomor 1
Sin 50⁰ = ...

A. Cos 50⁰

B. Cos 40⁰

C. Tan 50⁰

D. Sec 50⁰

E. Cot 50⁰

Pemkoreksian
Sin 50⁰ = Sin (90 - 40)⁰

Kaprikornus α = 40⁰ maka Sin 50⁰ = Cos 40⁰

Jawaban: B

Nomor 2
Cos 35⁰ = ....

A. Tan 35⁰

B. Cot 35⁰

C. Sec 55⁰

D. Sin 55⁰

E. Cosec 55⁰

Pemkoreksian

Cos 35⁰ = Cos (90 - 55)⁰

Kaprikornus α = 55⁰ maka Cos 35⁰ = Sin 55⁰

Jawaban: D

Nomor 3
Tan 75⁰ = ....

A. Sin 15⁰

B. Cos 15⁰

C. Cot 15⁰

D. Cosec 15⁰

E. Sec 15⁰

Pemkoreksian

Tan 75⁰ = Tan (90 - 15)⁰

Kaprikornus α = 15⁰ maka Tan 75⁰ = Cot 15⁰

Jawaban: C

Nomor 4
Sec 60⁰ = ....

A. Sin 30⁰

B. Cosec 30⁰

C. Tan 60⁰

D. Cos 60⁰

E. Cot 60⁰

Pemkoreksian

Sec 60⁰ = Sec (90 - 30)⁰

Kaprikornus α = 30⁰ maka Sec 60⁰ = Cosec 30⁰

Jawaban: B

Nomor 5
Cot 25⁰ = ....

A. Sin 25⁰

B. Cos 25⁰

C. Tan 25⁰

D. Tan 65⁰

E. Sec 65⁰

Pemkoreksian

Cot 25⁰ = Cot (90 - 65)⁰

Kaprikornus α = 65⁰ maka Cot 25⁰ = Tan 25⁰

Jawaban: C

Sudut Berelasi (180^o + α)

Hubungan sudut berelasi (180^o + α) sebagai berikut:

1. Sin (180^o + α) = - Sin α
2. Cos (180^o + α) = - Cos α
3. Tan (180^o + α) = Tan α
4. Cosec (180^o + α) = - Cosec α
5. Sec (180^o + α) = - Sec α
6. Cot (180^o + α) = Cot α

Untuk lebih jelasnya, pelajari pemkoreksian pola soal dibawah ini:
Nomor 1
Sin 210^o = ....
A. - 1
B. - 1/2
C. 0
D. 1/2
E. 1

Pemkoreksian
Sin 210^o = Sin (180^o + 30^o)
Kaprikornus α = 30^o maka Sin 210^o = - Sin 30^o = - 1/2
Jawaban: B

Nomor 2
Cos 240^o = ....
A. - 1/2
B. 0
C. 1/3
D. 1/4
E. 1

Pemkoreksian
Cos 240^o = Cos (180^o + 60^o)
Jadi, α = 60^o maka Cos 240^o = - Cos 60^o = - 1/2
Jawaban: A

Nomor 3
Tan 210^o = ....
A. - 1/2
B. 0
C. 1/3
D. 1/3 √3
E. 1

Pemkoreksian
Tan 210^o = Tan (180^o + 30^o)
Kaprikornus α = 30^o maka tan 210^o = tan 30^o = 1/3 √3
Jawaban: D

Nomor 4
Cosec 225^o = ....
A. - 1/3 √2
B. √2
C. 0
D. 1/2
E. 1

Pemkoreksian
Cosec 225^o = Cosec (180^o + 45^o)
Maka Cosec 225^o = - Cosec 45^o = - (1/sin 45^o) = - √2
Jawaban: B

Nomor 5
Sec 240^o = .....
A. - 2
B. - 1
C. - 1/2
D. 0
E. 1/2

Pemkoreksian
Sec 240^o = sec (180^o + 60^o)
Kaprikornus sec 240^o = - sec 60^o = - (1/cos 60^o) = - 2
Jawaban: A

Nomor 6
Cot 195^o = ....
A. - sin 15^o

B. - cos 15^o

C. sec 15^o

D. cot 15^o

E. cosec 15^o

Pemkoreksian
Cot 195^o = Cot (180^o + 15^o)

Kaprikornus cot 195^o = cot 15^o

Jawaban: D

Sudut berelasi (180^o - α)

Hubungan sudut berelasi (180^o - α) sebagai berikut:

1. Sin (180^o - α) = Sin α
2. Cos (180^o - α) = - Cos α
3. Tan (180^o - α) = - Tan α
4. Cosec (180^o - α) = Cosec α
5. Sec (180^o - α) = - Sec α
6. Cot (180^o - α) = - Cot α

Untuk lebih jelasnya, pelajari pemkoreksian pola soal dibawah ini:
Nomor 1
Sin 150^o = ....
A. - 1/2
B. 0
C. 1/2
D. 2/3
E. 1

Pemkoreksian
Sin 150^o = Sin (180^o - 30^o)
Kaprikornus α = 30^o maka Sin 150^o = sin 30^o = 1/2
Jawaban: C

Nomor 2
Cos 120^o = .....
A.  - 1
B. - 1/2
C. 0
D. 1/2
E. 1

Pemkoreksian
Cos 120^o = Cos (180^o - 60^o)
Kaprikornus α = 60^o maka Cos 150^o = - Cos 60^o = - 1/2
Jawaban: B

Nomor 3
Tan 135^o = ....
A. - 1
B. - 1/2
C. 0
D. 1/3
E. 1

Pemkoreksian
Tan 135^o = Tan (180^o - 45^o)
Kaprikornus α = 45^o maka tan 135^o = - tan 45^o = - 1
Jawaban: A

Nomor 4
Sec 120^o =...
A. - 2
B. - 1/2
C. 1/2
D. 1/3
E. 1

Pemkoreksian
Sec 120^o = Sec (180^o - 60^o)
Kaprikornus α = 60^o maka Sec 120^o = - Sec 60^o = - (1/cos 60^o) = - 2
Jawaban: A

Nomor 5
Cosec 150^o = ....
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. 1
E. 2

Pemkoreksian
Cosec 150^o = Cosec (180^o - 30^o)
Kaprikornus α = 30^o maka Cosec 150^o = Cosec 30^o = 1/sin 30^o= 2
Jawaban: E

Sudut Berelasi (270^o - α)

Hubungan perbandingan sudut (270^o - α) sebagai berikut:

1. Sin (270^o - α) = - cos α
2. Cos (270^o - α) = - sin α
3. Tan (270^o - α) = cot α
4. Cosec (270^o - α) = - sec α
5. Sec (270^o - α) = - cosec α
6. Cot (270^o - α) = tan α

Untuk lebih jelasnya, pelajari pemkoreksian pola soal dibawah ini:
Nomor 1
Sin 210^o = .....
A. - 2
B. - 1
C. - 1/2
D. 1
E. 2

Pemkoreksian
Sin 210^o = Sin (270^o - 60^o)
Kaprikornus α = 60^o maka sin 210^o = - cos 60^o = - 1/2
Jawaban: C

Nomor 2
Cos 240^o = ....
A. - 1/2
B. 0
C. 1/2
D. 1
E. 2

Pemkoreksian
Cos 240^o = cos (270^o - 30^o)
Kaprikornus α = 30^o maka cos 240^o = - sin 30^o = - 1/2
Jawaban: A

Nomor 3
Cosec 240^o = ....
A. - 1/4√2
B. - 1/2
C. 0
D. 1
E. 2

Pemkoreksian
Cosec 240^o = Coses (270^o - 30^o)
Kaprikornus α = 30^o maka cosec 240^o = - sec 30^o = - (1/cos 30^o) = - 1/(1/2√2) = - 1/4 √2
Jawaban: A

Nomor 4
Sec 255^o = ....

A. - sin 255^o

B. cos 255^o

C. - cosec 15^o

D. - sec 15^o

E. tan 15^o

Pemkoreksian
sec 255^o = sec (270^o - 15^o)

Kaprikornus α = 15^o maka sec 255^o = - cosec 15^o

Jawaban: C

Nomor 5
Cot 225^o = ....
A. - 1
B. - 1/3
C. 0
D. 1/2
E. 1

Pemkoreksian
cot 225^o = cot (270^o - 45^o)
Kaprikornus α = 45^o maka cot 225^o = tan 45^o = 1
Jawaban: E 

 

 

Daftar Pustaka:

-  https://misinfo.xyz/

- https://gurubelajarku.com/sudut-berelasi/

- https://ufitahir.wordpress.com/2020/03/18/menentukan-nilai-sudut-berelasi-berbagai-kuadran/

Contoh soal 1 Hitunglah nilai atau nyatakan perbandingan trigonometri dari cos 660°! Jawaban: Sudut 660° adalah angka yang besar, sehingga bisa menggunakan perbandingan trigonometri sudut berelasi untuk mengetahui nilainya. Dilansir dari Lumen Learning, kita harus memecah angka tersebut menjadi dua buah sudut yang diketahui nilai trigonometrinya. Yang menjadi patokan adalah segitiga siku-siku, yaitu 90°. 660° harus diubah ke dalam bentuk (n x 90°) + α, sebagai berikut: 660° = (7 x 90°) + 30° Cos 660° = cos (7 x 90°) + 30° Nilai 7 adalah angka ganjil, sehingga perbandingan trigonometri sudut berelasinya menjadi ko perbandingan, dan karena berada di kuadran IV, nilai cosnya akan positif sebagai berikut: Cos 660° = sin 30° = ½

Artikel ini telah tayang di Kompas.com dengan judul "Contoh Soal Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi", Klik untuk baca: https://www.kompas.com/skola/read/2021/12/14/170039369/contoh-soal-perbandingan-trigonometri-sudut-berelasi?page=all.
Penulis : Silmi Nurul Utami
Editor : Silmi Nurul Utami

Download aplikasi Kompas.com untuk akses berita lebih mudah dan cepat:
Android: https://bit.ly/3g85pkA
iOS: https://apple.co/3hXWJ0L

Contoh soal 1 Hitunglah nilai atau nyatakan perbandingan trigonometri dari cos 660°! Jawaban: Sudut 660° adalah angka yang besar, sehingga bisa menggunakan perbandingan trigonometri sudut berelasi untuk mengetahui nilainya. Dilansir dari Lumen Learning, kita harus memecah angka tersebut menjadi dua buah sudut yang diketahui nilai trigonometrinya. Yang menjadi patokan adalah segitiga siku-siku, yaitu 90°. 660° harus diubah ke dalam bentuk (n x 90°) + α, sebagai berikut: 660° = (7 x 90°) + 30° Cos 660° = cos (7 x 90°) + 30° Nilai 7 adalah angka ganjil, sehingga perbandingan trigonometri sudut berelasinya menjadi ko perbandingan, dan karena berada di kuadran IV, nilai cosnya akan positif sebagai berikut: Cos 660° = sin 30° = ½ Baca juga: Contoh Soal Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku Contoh soal 2 Hitunglah nilai atau nyatakan perbandingan trigonometri dari sin 340°! Jawaban: Sudut 340° lebih besar dari 270° dan lebih kecil dari 360°, sehingga berada di kuadran IV. Sehingga 340° dapat dinyatakan dalam bentuk (360° - α) sebagai berikut: Sin (360° - α) = sin α Sin 340° = sin (360° - 20°) = sin 20° Karena berada di kuadran IV, nilai cosinusnya adalah minus (-). Sehingga, Sin 340° adalah – sin 20°.

Artikel ini telah tayang di Kompas.com dengan judul "Contoh Soal Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi", Klik untuk baca: https://www.kompas.com/skola/read/2021/12/14/170039369/contoh-soal-perbandingan-trigonometri-sudut-berelasi?page=all.
Penulis : Silmi Nurul Utami
Editor : Silmi Nurul Utami

Download aplikasi Kompas.com untuk akses berita lebih mudah dan cepat:
Android: https://bit.ly/3g85pkA
iOS: https://apple.co/3hXWJ0L

Contoh soal 1 Hitunglah nilai atau nyatakan perbandingan trigonometri dari cos 660°! Jawaban: Sudut 660° adalah angka yang besar, sehingga bisa menggunakan perbandingan trigonometri sudut berelasi untuk mengetahui nilainya. Dilansir dari Lumen Learning, kita harus memecah angka tersebut menjadi dua buah sudut yang diketahui nilai trigonometrinya. Yang menjadi patokan adalah segitiga siku-siku, yaitu 90°. 660° harus diubah ke dalam bentuk (n x 90°) + α, sebagai berikut: 660° = (7 x 90°) + 30° Cos 660° = cos (7 x 90°) + 30° Nilai 7 adalah angka ganjil, sehingga perbandingan trigonometri sudut berelasinya menjadi ko perbandingan, dan karena berada di kuadran IV, nilai cosnya akan positif sebagai berikut: Cos 660° = sin 30° = ½ Baca juga: Contoh Soal Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku Contoh soal 2 Hitunglah nilai atau nyatakan perbandingan trigonometri dari sin 340°! Jawaban: Sudut 340° lebih besar dari 270° dan lebih kecil dari 360°, sehingga berada di kuadran IV. Sehingga 340° dapat dinyatakan dalam bentuk (360° - α) sebagai berikut: Sin (360° - α) = sin α Sin 340° = sin (360° - 20°) = sin 20° Karena berada di kuadran IV, nilai cosinusnya adalah minus (-). Sehingga, Sin 340° adalah – sin 20°.

Artikel ini telah tayang di Kompas.com dengan judul "Contoh Soal Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi", Klik untuk baca: https://www.kompas.com/skola/read/2021/12/14/170039369/contoh-soal-perbandingan-trigonometri-sudut-berelasi?page=all.
Penulis : Silmi Nurul Utami
Editor : Silmi Nurul Utami

Download aplikasi Kompas.com untuk akses berita lebih mudah dan cepat:
Android: https://bit.ly/3g85pkA
iOS: https://apple.co/3hXWJ0L