Koordinat Kutub dan Koordinat Kartesius

Muhammad Mirza Arserio

X MIPA 3

Absen 18

Koordinat Kutub dan Koordinat Kartesius

Koordinat kartesius suatu titik merupakan posisi suatu titik dalam arah sumbu x dan dalam arah sumbu y terhadap titik asal O (0,0) sebagai titik pusatnya. Koordinat kartesius ditulis dengan notasi titik P (x,y).

Koordinat Kutub (Polar) suatu titik merupakan besarnya jarak suatu titik tertentu P (x,y) terhadap titik asal O (0,0) dan besarnya sudut yang terbentuk oleh garis OP terhadap sumbu x. Koordinat kutub ditulis dengan notasi P (r,α°).

Untuk mengkonversi koordinat kartesius menjadi koordinat kutub dari suatu titik digunakan rumus sebagai berikut.

Koordinat kartesius ----> Koordinat Kutub

                     P (x,y)    ---->  P (r, α°)

dimana: r = √x²+y²

                α = tan^-1 (y/x) atau tan α = y/x

Nilai α dapat ditentukan dengan menggunakan tabel Matematika Sin Cos Tan atau menggunakan kalkulator. Cara menentukan nilai α dengan kalkulator dilakukan sebagai berikut:
a. Misal nilai y = -3 dan x = 4,
b. Tekan tombol angka 3 ,
c. Tekan tombol ± dan tekan tombol : ,
d. Tekan tombol angka 4 ,
e. Tekan tombol = ,
f. Kemudian tekan tombol 2nd atau SHIFT,

g. Terakhir tekan tombol tan,

maka akan muncul hasil berupa angka -36,869... dengan memberikan satuan ° (derajat) bernilai -36,869° atau biasanya ditulis -37°.

Untuk mengkonversi koordinat kutub menjadi koordinat kartesius dari suatu titik digunakan rumus sebagai berikut.

Koordinat Kutub ----> Koordinat kartesius

               P (r, α°)  ---->  P (x,y)

dimana: x = r . Cos α°

                y = r . Sin α°

Contoh Soal Konversi Koordinat:
1. Konversikan koordinat kartesius P (4,-3) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui:  x = 4 dan y = -3

maka r = √x²+y² = √4²+(-3)² = √25 = 5

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-3/4)
              = -36,69 ° atau -37°
Jadi koordinat kutubnya (5, -37°).
2. Konversikan koordinat kartesius P (6,8) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui:  x = 6 dan y = 8

maka r = √x²+y² = √6²+8² = √100 = 10

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (8/6)
              = 53,13 ° atau 53°
Jadi koordinat kutubnya (10, 53°).

3. Konversikan koordinat kutub P (10,60°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui:  r = 10 dan α = 60°

maka x = r . Cos α = 10 . cos 60°
               = 10 . 1/2= 5
dan    y = r . Sin α = 10 . Sin 60°
               = 10 . 1/2√3= 5√3

Jadi koordinat kartesiusnya (5, 5√3).

4. Konversikan koordinat kutub P (20,53°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui:  r = 20 dan α = 53°

maka x = r . Cos α = 20 . cos 53°
               = 20 . 0,6= 12
dan    y = r . Sin α = 20 . Sin 53°
               = 20 . 0,8 = 16

Jadi koordinat kartesiusnya (12, 16).

5. Tentukan koordinat kutub jika diketahui koordinat kartesius suatu titik A (-2√3, -2) !
Penyelesaian:
Diketahui:  x = -2√3 dan y = -2

maka r = √x²+y² = √(-2√3)²+(-2)²
              = √(4.3)+4 = √12+4 = √16 = 4

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-2/-2√3)
              = tan^-1 (1/√3) = 30°
Jadi koordinat kutubnya (4, 30°).

 

Contoh Soal lainnya:

 Pembahasan 1
Sudut pandang dari angka 48 disebut.

a. 42 °
b. 52 °
c. 68 °
d. 138 °
ulasan:
– 90 – 48 = 42

Pembahasan 2

Pertanyaan dari Koordinat Cartesius letak di kuadran dengan poin adalah.

– (2,3)
– (3,3)
– (-4,7)
– (85, -77)
– (-54.2)

Ulasan:
(2,3) Terletak pada kuadran I
(3,3) Terletak pada kuadran I
(-4,7) Terletak pada kuadran II
(85, -77) Terletak pada kuadran IV
(-54.2) Terletak pada kuadran III

Pembahasan 3 Koordinat dengan titik A (9, 21) disebut. a. -9 b. 9 c. -21 d. 21 Ulasan: Menulis titik – (absis, mentahbiskan) dengan masalah pada titik A (9, 21) dapat menunjukan dengan angka. – Abscissa = 9 – Ordinat = 21 Jawaban: Pembahasan 4 Diketahui P (3, 2) – Q (15, 13) dengan koordinat relatif pada titik Q yang sehubungan dengan P disebut. a. (12, 11) b. (12, 9) c. (18, 11) d. (18, 13) Ulasan: Koordinat relatif pada titik Q ke titik P dengan mengurangi : A. bscissa Q kurang abscissa P B. Ordinasi Q kurang ordinat P Koordinat Q relatif dengan P adalah: (15 – 3, 13 – 2) = (12, 11) Jawaban: Pembahasan 5 Poin A (3, 2), B (0, 2) yang dapat dilintasi garis p adalah sejajar dengan garis p, maka garis q akan menentukan nilainya sebagai. a. Paralel pada sumbu x b. Paralel pada sumbu y c. Tegak lurus pada sumbu x d. Secara lurus pada sumbu y

Pembahasan 6

gradien dengan tegak lurus = -1: -4/5 = 5/4
titik dengan persimpangan (0, -20)
persamaan pada garis k:

– y + 20 = 5/4 (x – 0)
– y + 20 = 5/4 x

Tentukan titik persimpangan yang sehubungan dengan sumbu x adalah.
– y = 0
– y + 20 = 5/4 x
– 20 = 5/4 x
– 80 = 5x
– x = 16
titik pada persimpangan = (16.0) nya.

Pembahasan 7

Koordinat Cartesian kutub denga titik (-4.4) adalah …

Ulasan:
– (x, y) ⇒ (r, α)
– x = -4, y = 4

titik negatif pada sudut di kuadran II) adalah.
tan α = x / y
⇒4 / – 4
⇒ – 1

Pembahasan 8

sudut α di kuadran II, pada : α = (180-45) ° = 135 °
maka kutub dengan nilai (4√2, 135 °)
Dan melengkapi pada sudut 48 adalah.

a. 42 °
b. 52 °
c. 68 °
d. 138 °
Ulasan:
Komplemen = 90 – 48 = 42
Jawaban : A.

Pembahasan 8

Koordinat pada kutub dengan titik (4,45 derajat) titik itu.

– X = r.cosα = 4.1 / 2√2 = 2√2
– y = r.sinα = 4.1 / 2√2 = 2√2
– (x, y) = (2√2)

Tentukan besar derajat sudut P adalah.

a. Refleks
b. Tumpul
c. Siku
d. Lancip

Ulasan:
Sudut P 113 derajat berarti sudut P adalah.

sudut yang berada pada kisaran 90 derajat sampai 180 derajat.
Jawaban: B

Pembahasan 9

Besarnya sudut jam pada saat menunjukkan 3:00 disebut.

a. 180 °
b. 90 °
c. 60 °
d. 30 °

Ulasan:
Pada pukul 03.00 jam akan menunjuk pada nomor 3 dan jarum panjang menunjuk nomor 12 maka sudut terbentuk 90 derajat adalah.
Jawaban :B

Pembahasan 10

Konversi Koordinat Polar dengan titik (10, 315 °) adalah.

A. (-5, -5√2)
B. (-5, 5√2)
C. (5√2, 5√2)
D. (5√2, -5√2)
Jawab: D

 

Contoh Soal lainnya:

Contoh 1 :

Jika diketahui koordinat kartesius titik P(5, -5) maka koordinat kutubnya adalah . . .

Penyelesaian :

x = 5 dan y = -5  berada di Kuadran IV (270º – 360º)

r² = x² + y² 

r² = 5² + (-5)²

r² = 25 + 25

r² = 50

r = √50

r = √25√2

r = 5√2

Tan θ = y/x

Tan θ = -5/5 = -1

Tan yang bernilai 1 adalah sudut 45º.

45º di Kuadran IV sma dengan sudut 360º – 45º = 315º

Sehingga koordinat kutub yang dimaksud adalah P( 5√2, 315º)

Contoh 2 :

Jika diketahui koordinat kutub titik P( 5√2, 315º) maka koordinat kartesiusnya adalah . . .

r = 5√2 dan θ = 315º

x = r.Cos θ

x = 5√2.Cos 315º

x = 5√2 × ½√2 = 5

y = r.Sin θ

y = 5√2.Sin 315º

y = 5√2 × (-½√2) = -5

Sehingga koordinat kartesius yang dimaksud adalah P( 5, -5)

Contoh 3  :

Koordinat kartesius dari titik P(8, 240°) adalah . . . .

x = r.Cos A = 8. Cos 240° = 8.(- ½) = -4

y = r.Sin A = 8. Sin 240° = 8.(- ½√3) = -4√3

Sehingga koordinat kartesiusnya adalah (-4, -4√3).

Contoh 4 :

Koordinat kutub dari titik (2, -2) adalah . . . .

r² = x² +y² = 2² + (-2)² = 4 + 4 = 8

⇒r = √8 = √4.√2 = 2√2

Tan A = y/x = (-2)/2 = -1

⇒ A  adalah sudut 45° di kuadran IV karena x positif dan y negatif, maka A = 360° – 45° = 315°.

Sehingga koordinat kutubnya adalah (2√2, 315°).

 

 

Daftar Pustaka:

- https://kacamatateha.wordpress.com/2016/09/14/koordinat-kutub-dan-koordinat-kartesius/

- https://siswatekunbelajar.blogspot.com/2019/10/konversi-koordinat-cartesius-dan.html