Soal Fungsi: Kuadrat, Rasional, Irasional

Nama: Muhammad Mirza Arserio

Kelas: X MIPA 3

Absen: 18

SOAL FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

Contoh Soal Fungsi Kuadrat:

Jadi grafik fungsi  y = x2 – 4x – 8 memotong sumbu y di titik (0, -8)
2.    Pembuat nol dari fungsi kuadrat y = x2 – x – 12 adalah:
a.    x = -1 atau x = 2
b.    x = -3 atau x = -4
c.    x = 1 atau x = -2
d.    x = 1 atau x = 2
e.    x = -3 atau x = 4
jawab: e. x = -3 atau x = 4

Pembahasan:

Diketahui y = x2 – x – 12
Pembuat nol fungsi kuadrat diperoleh jika y = 0
x2 – x – 12 = 0
(x + 3)(x – 4) = 0
x = -3  x = 4
3.    Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 8 – 2x – x2 adalah:
a.    x = 4
b.    x = 2
c.    x = 1
d.    x = -1
e.    x = -2
Jawab: d. x = -1
Pembahasan:
y = 8 – 2x – x2 → a = -1, -2, c = 8
Persamaan sumbu simetri:

4.    Jika fungsi y = ax2 + 4x + 3a mempunyai nilai maksimum -11, maka a2 – a adalah:
a.    1/6
b.    1/3
c.    3
d.    10
e.    20
Jawab: e. 20
Pembahasan :
Nilai maksimum y = ax2 + 4x + 3a adalah

-11 =
-11 =
3a2 – 4 = -11a
3a2 + 11 a = 0
(3a – 1)(a + 4) = 0
A = 1/3  a = -4
Karena y mempunyai nilai maksimum maka a < 0, sehingga nilai a yang memenuhi adalah -4. Jadi a2 – a = (-4)2 – (-4) = 20
5.    Sumbu simetri kurva y = 2×2 + 6x – 5 diperoleh pada garis …

Jawab: e. x =
Pembahasan:
Pembahasan sumbu simetri:

6.    titik balik fungsi f(x) = x2 – 4x – 21 adalah:
a.    (-3, 27)
b.    (2, -25)
c.    (0, -21)
d.    (1, -24)
e.    (-2, 25)
Jawab: e. (-2, 25)
Pembahasan:
Persamaan sumbu simetri:

Jadi titik balik (2, -25)
7.    Koordinat titik balik grafik fungsi dengan rumus f(x) = 3 – 2x – x2 adalah:
a.    (-2, 3)
b.    (-1, 4)
c.    (-1, 6)
d.    (1, -4)
e.    (1, 4)
Jawab: b. (-1, 4)
Pembahasan:
f(x) = 3 – 2x – x2 → a = -1, b = -2, c = 3

f(-1) = 3 – 2(-1) – (-1)2
= 3 + 2 – 1 = 4
Jadi titik baliknya adalah (-1, 4).
8.    Grafik fungsi kuadrat yang persamaanya y = ax2 – 5x – 3 memotong sumbu x. salah satu titik potongnya adalah (½. 0). Nilai a sama dengan:
a.    -32
b.    -2
c.    2
d.    11
e.    22
Jawab: c. 2
Pembahasan:
Melalui titik  (½. 0), maka:
y = ax2 – 5x – 3
0 =

a = 2
9.     Apabila grafik fungsi y = kx2 + (k – 3)x – 4 seluruhnya dibawah sumbu x, maka nilai k tidak mungkin sama dengan:
a.    -10
b.    -8
c.    -6
d.    -4
e.    -2
Jawab: a. -10
Pembahasan:
y = kx2 + (k – 3)x – 4
grafik seluruhnya di bawah sumbu x, maka syratnya adalah:
(1) k < 0
(2) D < 0
b2 – 4ac < 0
(k – 3)2 – 4. K(-4) < 0
k2 – 6k + 9 + 16k < 0
k2 + 10k + 9 < 0
(k + 9)(k + 1) < 0
-9 < k < -1
k < 0 dan -9 < k < -1 → -9 < k < -1
berarti k tidak mungkin -10.
10.    Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (a + 1)x + 2a = 0 adalah p dan q. nilai minimum dari p2 + q2 dicapai untuk a sama dengan:
a.    -2
b.    -1
c.    0
d.    1
e.    2
Jawab: d. 1
Pembahasan:
x2 + (a + 1)x + 2a = 0
p + q = -(a + 1)
pq = 2a
p2 + q2 = (p + q)2 – 2pq
= (-(a + 1))2 – 2(2a)
= a2 – 2a + 1

 

 Contoh Soal Fungsi Rasional

Contoh 1

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
2. Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh

1. Pada saat x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbolkan akan menjadi: x → –∞, y → 0.
2. Pada saat x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x → 0^–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

Sama halnya dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika kita tulis simbolnya maka akan menjadi: x → ∞, y → 0.

Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y = 0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,

Asimtot Horizontal
Diberikan sebuah konstanta k, garis y = k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas, akan menimbulkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.

Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menunjukan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

Advertisement

Contoh 2

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Berdasarkan gambar (b) di atas, pakailah notasi matematika guna:

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik di atas.
2. Mendeskripsikan apa yang berlangsung pada saat x mendekati nol.

Pembahasan

1. Pada saat x → –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.
2. Pada saat x → 0^–, g(x) → ∞. Ketika x → 0⁺, y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, maka dapat diketahi bahwasannya pada saat x mendekati nol, g akan berubah menjadi sangat besar serta semakin bertambah tidak terbatas.

Hal tersebut adalah indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal.

Dan kemudian kita akan menyebut garis x = 0 adalah asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga adalah asimtot vertikal untuk f). Secara umum,

Asimtot Vertikal
Diberikan sebuah konstanta h, garis x = h adalah asimtot vertikal untuk fungsi V apabila x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x → h⁺, V(x) → ±∞ atau pada saat x → h^–, V(x) → ±∞.

Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah bermanfaat.

Sebab grafik y = 1/x dan y = 1/x² bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal maupun gorizontal. Fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sementara untuk fungsi,

Advertisement

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x². Kemudian perhatikan contoh yang ada di bawah ini:

Contoh 3

Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggaplah |a| = 1.

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

 

Contoh Soal Fungsi Irasional:

 

Contoh 1:
Selesaikanlah Persamaan irasional,

  

[solusi]
Tentukan terlebih dahulu prasyarat, yaitu:

Selanjutnya selesaikan :

Secara grafis persamaan diatas dapat di gambarkan sebagai berikut:

Dari grafik diatas, tampak bahwa kedua grafik berpotongan di titik A dan titik B. Maka himpunan penyelesaiannya adalah adalah titik A, yaitu x = 2 (bagian yang  bergaris tebal). Dan titik B, yaitu x = -2 adalah penyelesaian semu (bagian yang bergaris putus-putus).

Contoh 2:

Selesaikanlah Persamaan irasional  berikut ini,

[Solusi]

Tentukan terlebih dahulu Prasyarat :
 

Selanjutnya selesaikan :

 

Penyelesaian dengan grafik, yaitu sebagai berikut:

Contoh 3:

Tentukan himpunan penyelesaian dari  Persamaan irasional  berikut ini ,  [Solusi]Tentukan terlebih dahulu prasyarat :
Selanjutnya selesaikan:
Jadi, persamaan rasional,   tidak mempunyai solusi.