Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi

Nama: Muhammad Mirza Arserio

Kelas: X MIPA 3

Absen: 18

Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi

 

Fungsi komposisi adalah gabungan dari dua fungsi yaitu fungsi f(x) dan g(x) yang disimbolkan dengan “ o “. Sementara itu, Invers memiliki arti “kebalikan” jadi fungsi invers artinya fungsi kebalikan. Fungsi komposisi adalah ketika ada dua fungsi yang digabungkan secara berurutan maka akan membentuk sebuah fungsi baru.

 

Contoh Soal Komposisi Fungsi:

1. Jika f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 4x² . Maka (f o g)(x) dan (g o f)(x) adalah …

Pembahasan

(f o g)(x) = f (g(x))

(f o g)(x) = f (4x²)

(f o g)(x) = 3(4x²) + 2

(f o g)(x) = 12x² + 2

(g o f)(x) = g(f(x))

(g o f)(x) = 4(3x + 2)²

(g o f)(x) = 4(9x² + 12x + 4)

(g o f)(x) = 36x² + 48x + 16

Jadi, (f o g)(x) = 12x² + 2 dan (g o f)(x) = 36x² + 48x + 16.

2. Diketahui (f o g)(x) = 2x + 4 dan f(x) =x – 2. Tentukan fungsi g (x)!

Pembahasan

(f o g)(x) = 2x + 4

f(g(x)) = 2x + 4

g(x) – 2 = 2x + 4

g(x) = 2x + 4 + 2

g(x) = 2x + 6

Jadi, fungsi g (x) adalah g(x) = 2x + 6.

3. Tentukan f(x) jika (f o g)(x) = 4x + 6 dan g(x) = 2x + 5.

Pembahasan

(f o g)(x) = 4x + 6

f(g(x)) = 4x + 6

f (2x + 5) = 4x + 6

Misal u = 2x + 5, maka x = ½(u-5), sehingga:

f (2x + 5) = 4x + 6

f (u) = 4(½(u-5)) + 6

f (u) = 2u – 10 + 6

f (u) = 2u – 4

f (x) = 2x – 4

Jadi, fungsi f(x) = 2x – 4.

4. Diberikan f(x) = 2x + 6, carilah fungsi invers dari f(x) !

Pembahasan

f(x) = 2x + 6

y = 2x + 6

2x = y – 6

x = ½y – 3

f^-1(x) = ½x – 3

Jadi, fungsi invers dari f(x) adalah f^-1(x) = ½x – 3.

5. Jika f(x) = 2x, g(x) = 3x – 1, dan h(x) = x², maka (f o g o h) (x) adalah …

Pembahasan

(f o g o h) (x) = (f o (g o h) (x))

(f o g o h) (x) = f (g (h(x))

(f o g o h) (x) = f (3(x²) – 1)

(f o g o h) (x) = f (3x² – 1)

(f o g o h) (x) = 2 (3x² – 1)

(f o g o h) (x) = 6x² – 2

Jadi, (f o g o h) (x) = 6x² – 2.

6. Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 4. Tentukan (g o f)^-1 (x) !

Pembahasan

(g o f)^-1 (x) = (f^-1 o g^-1) (x)

(g o f)^-1 (x) = (f^-1 (g^-1(x))

Tentukan fungsi f^-1(x):

f(x) = x + 2

y = x + 2

x = y – 2

f^-1(x) = x – 2

Tentukan fungsi g^-1(x):

g(x) = 2x – 4

y = 2x – 4

2x = y + 4

x = ½y + 2

g^-1(x) = ½x + 2

Substitusikan f^-1 (x) dan g^-1 (x) ke (g o f)^-1 (x) :

(g o f)^-1 (x) = (f^-1 (g^-1(x))

(g o f)^-1 (x) = f^-1 (½x + 2)

(g o f)^-1 (x) = (½x + 2) – 2

(g o f)^-1 (x) = ½x

Jadi, (g o f)^-1 (x) = ½x.

7. Jika (f o g) (x) = x + 4, dan g(x) = x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f(x).

Pembahasan

(f o g) (x) = x + 4

f(g(x)) = x + 4

f(x – 2) = x + 4

Misal u = x – 2, maka x = u + 2, sehingga

f(x – 2) = x + 4

f(u) = u + 2 + 4

f(u) = u + 6

f(x) = x + 6

y = x + 6

x = y – 6

f^-1(x) = x – 6

Jadi, invers dari fungsi f(x) adalah f^-1(x) = x – 6.

 

Contoh Soal Invers Fungsi:

1. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2x² + 5!

Penyelesaian:

f(x) = 2x² + 5y = 2x² + 5

y-5 = 2x²

(y-5)/2 = x²

x = √[(y-5)/2]

f-1(x) = √[(x-5)/2]

2. Tentukan fungsi invers dari g(x) = (2x – 1)/6!

Penyelesaian:

g(x) = (2x – 1)/6

y = (2x – 1)/6

6y = 2x – 1

6y+1 = 2x

x = (6y+1)/2

g-1(x) = (6x+1)/2

3. Tentukan fungsi invers dari h(x) = ³√x+2!

h(x) = ³√x+2

y = ³√x+2

y+2 = ³√x

x = (y+2)³

h-1(x) = (x+2)³

4. Tentukan fungsi invers dari f(x) = x – 3 maka f-1(x)!

Penyelesaian:

f(x) = x – 3

y = x – 3

x = y + 3

Ganti x menjadi f-1(x) dan y menjadi x sehingga diperoleh hasil f-1 (x) = x + 3

5. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2 – 2x!

Penyelesaian:

f(x) = 2 – 2x

y = 2 – 2x

2x = 2 – y

x = 2−y2\frac {2 - y} {2}

Ganti x = f-1(x) dan y = x sehingga diperoleh f-1(x) = 2−x2\frac {2 - x} {2} = 1 – 1/2x

6. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2x + 1!

Penyelesaian:

y = 2x + 1

2x = y – 1

x = y−12\frac {y - 1} {2}

f-1(x) = x−12\frac {x - 1} {2}

f-1(2) = 2−12\frac {2 - 1} {2} = ½

 

7. Tentukan fungsi invers dari f(x) = x2 – 2x + 1!

Penyelesaian:

y = x2 – 2x + 1

y = (x – 1)2.

x – 1 = y\sqrt {y}

x = y\sqrt {y} + 1

f-1(x) = x\sqrt {x} + 1

f-1(4) = 4\sqrt {4} + 1 = 2 + 1 = 3

8. Tentukan fungsi invers dari f(x) = x2 – 2x + 1!

Penyelesaian:

y = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2

x – 1 = √ y  

x = 1 + √ y  

f-1(x) = 1 + √ x  

9. Tentukan fungsi invers dari f(x) = x2 – 4!

Penyelesaian:

y = x2 – 4

x2 = y + 4

x = √ y + 4  

f-1(x) = √ x + 4  

10. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2 + √ x + 2!

Penyelesaian:

√ x + 2   = y – 2

x + 2 = (y – 2)2

x = (y – 2)2 – 2

f-1(x) = (x – 2)2 – 2

 

Daftar Pustaka:

 https://hot.liputan6.com/read/4466932/fungsi-invers-contoh-soal-dan-penyelesaiannya-pahami-lebih-jauh

https://rumuspintar.com/fungsi-komposisi/contoh-soal/

https://hot.liputan6.com/read/4606157/fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers-dalam-matematika-yang-perlu-dipahami